正文

在数学中，定积分求导是通过微积分基本定理来联系定积分和导数的。我们通常讨论的是对含有参数的定积分函数进行求导，例如变上限积分的情况。

设函数 $f(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且函数 $F(x)$ 定义为：

F(x) = \int_a^x f(t) \, dt

则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，并且有：

F'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)

更一般地，如果上下限都是关于 $x$ 的函数，那么可以使用 Leibniz 求导法则：

\frac{d}{dx} \left( \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt \right) = f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x)

\frac{d}{dx} \int_0^x e^{t^2} \, dt

解：根据微积分基本定理，

= e^{x^2}

\frac{d}{dx} \int_{\sin x}^{x^2} \ln t \, dt

解：应用 Leibniz 法则，

= \ln(x^2) \cdot (x^2)' - \ln(\sin x) \cdot (\sin x)' = \ln(x^2) \cdot 2x - \ln(\sin x) \cdot \cos x

如果被积函数也依赖于 $x$ ，即形如：

F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) \, dt

那么其导数由Leibniz 积分法则给出：

\frac{d}{dx} F(x) = f(x, b(x)) \cdot b'(x) - f(x, a(x)) \cdot a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x, t) \, dt

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2025年06月11日

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