定积分的一些公式

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浮云游子意，落日故人情。

— 李白 · 《送友人》

积分公式

1. 牛—莱公式: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \bigg|_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$

好用,别忘了fx,FX其实也可以换一种写法f’x,fx

2. 定积分的几何意义:

   • 如 $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} a^2$
   • $\int_{0}^{a} \sqrt{2ax - x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} a^2$ 圆,第二个配下方也一样

3. 奇偶对称性公式:

   $$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \begin{cases} 0, & \text{if } f(x) \text{ is odd} \\ 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx, & \text{if } f(x) \text{ is even} \end{cases}$$

利用奇偶性,这个没啥好说的,为奇的时候挺棒的

4. 双非公式: $$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] \, dx$$

拆成(-a,0),(0,a),然后前面那个用t=-x替换,然后因为符号不影响,换回x,就行了

5.轮换对称公式:

sinx和cosx在 [0,2π​] 上的互补关系,画个图像就知道了,定积分求的是面积

6.华里士公式:

7. 压缩区间公式: $\int_{0}^{\pi} f(\sin x) \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx$ sinx 在 [0,π] 区间上的对称性,将积分区间 [0,π] 分成两个部分：[0,2π​] 和 [2π​,π],u=π−x $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} [f(x) + f(a+b-x)] \, dx$

本来不好判断正负,区间压缩过后,就可以判断范围正负了 要证明这个积分等式：

首先，将左侧的积分从 $a$ 到 $b$ 分成两部分：从 $a$ 到 $\frac{a+b}{2}$ 和从 $\frac{a+b}{2}$ 到 $b$。

令 $u = a + b - x$，则 $du = -dx$。 当 $x = \frac{a+b}{2}$，$u = \frac{a+b}{2}$；当 $x = b$，$u = a$。

注意到第二个积分中的 $u$ 只是一个哑变量，可以将其改回 $x$：

证毕

8. 消失的X公式: $$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \, dx$$

区间再现的特例的一种

9. 区间再现公式: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} [f(x) + f(a + b - x)] \, dx$$

10. 周期函数的定积分:
    • $\int_{a}^{a+nT} f(x) \, dx = n \int_{0}^{T} f(x) \, dx$
    • $\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(x) \, dx$ $f(x)$为偶函数
    • $\int_0^T f(x)\,dx = \int_{-T/2}^{T/2} f(x)\,dx$ 对于一个周期为 $T$ 的函数 $f(x)$，它的一个基本性质是：在任意一个长度为 $T$ 的区间上的定积分值都相等