无穷小

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此身如传舍，何处是吾乡。

— 苏轼 · 《临江仙·送王缄》 在题目中，选项2指的是选项(B)，即 $f(x)g(x) = o(f^2(x))$。要理解这个选项的余项（即小o记号），我们需要回顾一下小o记号的定义和题目的条件。

小o记号的定义

对于两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，如果当 $x \to 0$ 时，有： $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ 则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，记作 $f(x) = o(g(x))$。

题目条件

题目给出的条件是：当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，即 $f(x) = o(g(x))$。

分析选项(B)

选项(B)是 $f(x)g(x) = o(f^2(x))$。

根据小o记号的定义，我们需要验证： $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)g(x)}{f^2(x)} = 0$

由于 $f(x) = o(g(x))$，我们可以写成： $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ 其中 $\lim_{x \to 0} h(x) = 0$。

将 $f(x)$ 代入 $f(x)g(x)$ 中： $f(x)g(x) = (g(x) \cdot h(x)) \cdot g(x) = g^2(x) \cdot h(x)$

再将 $f(x)$ 代入 $f^2(x)$ 中： $f^2(x) = (g(x) \cdot h(x))^2 = g^2(x) \cdot h^2(x)$

因此： $\frac{f(x)g(x)}{f^2(x)} = \frac{g^2(x) \cdot h(x)}{g^2(x) \cdot h^2(x)} = \frac{1}{h(x)}$

由于 $\lim_{x \to 0} h(x) = 0$，所以 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{h(x)} \neq 0$。 因此，选项(B)不成立。 选项(B) $f(x)g(x) = o(f^2(x))$ 不成立，因为当 $x \to 0$ 时，$\frac{f(x)g(x)}{f^2(x)}$ 的极限不为0